Derivadas de diferentes Operaciones

Qué aprenderás en esta clase

Resumen de cómo se derivan las distintas operaciones: suma, resta, producto, cociente y función compuesta, con una guía para elegir la regla.

Un mapa de las operaciones

Esta clase reúne en un solo lugar las reglas del álgebra de derivadas, que se fueron viendo una por una en el curso, y enseña cómo decidir cuál usar. El primer paso, ante cualquier función, es mirar cuál es la operación de más afuera: suma o resta, producto, cociente o composición.

Suma y resta

Si la operación de más afuera es una suma o una resta, se deriva término a término: $(U \pm V)' = U' \pm V'$ . Es la regla más simple y la que se aplica a todos los polinomios. Por ejemplo, para $x^3 - x^2 + 5$ , se obtiene $3x^2 - 2x$ .

Producto

Si es un producto, se usa $(UV)' = U'V + UV'$ . Por ejemplo, para $x^2\sin(x)$ , el resultado es $2x\sin(x) + x^2\cos(x)$ . Es la regla que más se confunde con la de la suma, así que conviene recordar que tiene dos términos y que cada factor se deriva una vez.

Cociente

Si es una división, se usa $\left(\frac{U}{V}\right)' = \frac{U'V - UV'}{V^2}$ . Para $\frac{x^2+1}{\sin x}$ , da $\frac{2x\sin x - (x^2+1)\cos x}{\sin^2 x}$ . El orden del numerador es crucial por el signo menos.

Composición

Si es una función compuesta, se usa la regla de la cadena: $\left(f(g)\right)' = f'(g)\cdot g'$ . Para $\sin(x^2+x)$ , da $(2x+1)\cos(x^2+x)$ . Muchas funciones del repartido combinan varias reglas: por ejemplo, $e^{x^2}\cos(x)$ es un producto cuyos factores son una función compuesta y una trigonométrica.

Cómo decidir

Una receta práctica es la siguiente: primero mirar la operación de más afuera, aplicar su regla, y después derivar cada pieza con la regla que le corresponda, que puede ser otra operación o una función de la tabla. En la mayoría de los ejercicios se anidan dos o tres reglas, y el orden de afuera hacia adentro evita los errores.

Cierre

Para consolidar, resolvé los 22 ejercicios del repartido y para cada uno anotá cuál fue la operación de afuera y qué reglas usaste. Cuando puedas hacerlo sin mirar la tabla, el tema está dominado.

Una nota final

Un buen hábito es nombrar en voz alta la operación de afuera antes de derivar: «esto es un producto», «esto es un cociente». Parece un detalle menor, pero ahorra la mayoría de los errores, porque obliga a elegir la regla antes de empezar a calcular.