Fórmula de la Derivada del Producto

Fórmula de la Derivada del Producto

Ejemplo de la Derivada de un Producto Derivada del producto de equis al cubo por logaritmo de x En este ejercicio podemos observar el producto de dos funciones.

Ejemplo de la Derivada de un Producto Derivada del producto de equis al cubo por logaritmo de x En este ejercicio podemos observar el producto de dos funciones. La primera es x al cubo la cual está multiplicada por la función logaritmo de valor absoluto de X; es decir cómo podemos observar existen dos funciones que se están multiplicando entre ellas. Para poder derivar este producto de funciones vamos a utilizar justamente la fórmula que nos planteamos anteriormente de la derivada de la multiplicación. En este caso U está representando x³, mientras que V está representando el logaritmo de X. Si nosotros derivamos equis al cubo su derivada es 3x al cuadrado y si derivamos logaritmo de X su derivada es 1 sobre x.

La regla del producto

Cuando se deriva una multiplicación de funciones, la fórmula que aparece en la tabla de derivadas es $$f(x) = U(x)\,V(x) \;\Rightarrow\; f'(x) = U'(x)\,V(x) + U(x)\,V'(x)$$ En palabras: la derivada del primer factor por el segundo sin derivar, más el primer factor sin derivar por la derivada del segundo. Es importante notar que el producto no se deriva «factor por factor»: la derivada de un producto no es el producto de las derivadas.

El ejemplo de la clase: x al cubo por el logaritmo de x

Se tiene el producto de dos funciones: la primera es $x^3$ y la segunda es $\log|x|$. Para aplicar la fórmula se asignan los nombres: $U(x) = x^3$ y $V(x) = \log|x|$. Las derivadas son $U'(x) = 3x^2$ y $V'(x) = \frac{1}{x}$.

Armar la derivada

Se reemplaza en la fórmula: $f'(x) = 3x^2 \cdot \log|x| + x^3 \cdot \frac{1}{x}$. El primer término es la derivada de $x^3$ por el logaritmo sin derivar. El segundo es $x^3$ sin derivar por la derivada del logaritmo.

Simplificar el resultado

El segundo término se puede simplificar: $x^3 \cdot \frac{1}{x} = x^2$. La derivada queda $f'(x) = 3x^2 \log|x| + x^2$, y sacando $x^2$ como factor común, $f'(x) = x^2\left(3\log|x| + 1\right)$. Esta forma factorizada es la más cómoda cuando después hay que estudiar el signo de la derivada.

Cómo no equivocarse

Un consejo práctico es escribir primero, al costado, los cuatro elementos: $U$, $U'$, $V$ y $V'$. Cuando ya hay práctica, a veces no hace falta, pero al empezar evita muchas confusiones. Otro control útil es contar los términos: la derivada de un producto de dos funciones siempre tiene dos términos, uno por cada factor derivado.

Para practicar

Derivá $x^2 \sin(x)$, que da $2x\sin(x) + x^2\cos(x)$, y $x\,e^x$, que da $e^x + x\,e^x = e^x(1+x)$. Son dos de los ejercicios más típicos de este tema.

Una comprobación con un producto conocido

Hay una manera de verificar que la fórmula funciona. Se toma un producto que se pueda calcular de otra forma: $x^2 \cdot x^3 = x^5$, cuya derivada es $5x^4$. Con la fórmula del producto, $U = x^2$, $V = x^3$, $U' = 2x$ y $V' = 3x^2$, y se obtiene $2x\cdot x^3 + x^2\cdot 3x^2 = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4$. Los dos caminos coinciden. En cambio, el producto de las derivadas, $2x \cdot 3x^2 = 6x^3$, no coincide, y eso muestra por qué no se puede derivar factor por factor.