Fórmula de la Derivada del Cociente

Fórmula de la Derivada del Cociente

Fórmula de la Derivada del Cociente. Del curso Derivadas de Funciones – Curso Gratis, resuelta paso a paso.

Ejemplo: Derivando una división Entonces la derivada de esta división es: Simplificando la ecuación nos queda lo siguiente: En esta sección estamos viendo la fórmula de la derivada de la división de dos funciones en la cual tenemos la derivada de lo que denominamos la función de x entre la función V(x). Cómo observamos la derivada es la división del numerador * el denominador sin derivar menos la derivada del denominador multiplicada por el numerador sin derivar. Todo esto va dividido en el denominador al cuadrado. Posteriormente vemos el ejemplo de la derivada de una división con su resultado para que tú puedas practicar y ver si llegas a él. No te olvides que también tienes los ejercicios resueltos en vídeo para que tú puedas mirar el procedimiento paso a paso de cómo llegar a aplicar la derivada de una división y luego la simplificación necesaria para llegar a los resultados pedidos.

La regla del cociente

Para derivar una división de funciones se usa esta fórmula de la tabla de derivadas: $$f(x) = \frac{U(x)}{V(x)} \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{U'(x)\,V(x) - U(x)\,V'(x)}{V^2(x)}$$ Se lee así: la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo dividido por el denominador al cuadrado. El orden de los términos del numerador importa, porque hay una resta.

El ejemplo de la clase

La función es $f(x) = \frac{e^x + 3}{2x^5}$. El numerador es $U(x) = e^x + 3$ y su derivada es $U'(x) = e^x$. El denominador es $V(x) = 2x^5$ y su derivada es $V'(x) = 10x^4$.

Armar la derivada

Aplicando la fórmula: $f'(x) = \frac{e^x \cdot 2x^5 - (e^x+3)\cdot 10x^4}{(2x^5)^2} = \frac{2x^5 e^x - 10x^4(e^x+3)}{4x^{10}}$. En el material del curso se simplifica el factor 2 y queda $\frac{x^5 e^x - 5x^4(e^x+3)}{2x^{10}}$.

Simplificar

Se saca $x^4$ como factor común en el numerador y se simplifica con el denominador: $\frac{x^4\left(x\,e^x - 5(e^x+3)\right)}{2x^{10}} = \frac{x\,e^x - 5e^x - 15}{2x^6}$. Agrupando, el resultado final es $$f'(x) = \frac{(x-5)\,e^x - 15}{2x^6}$$

Por qué conviene simplificar

Calcular la derivada es solo la mitad del trabajo. La información más útil de una derivada es su signo, y para estudiarlo se necesita un numerador y un denominador lo más simples posible, de modo de calcular fácilmente sus raíces. Por eso, después de aplicar la fórmula siempre conviene factorizar y simplificar.

Consejos y errores

Para no equivocarse, identificá primero cuál es el numerador y cuál el denominador, derivalos por separado y recién después armá la fórmula. El error más frecuente es invertir el orden de los dos productos del numerador, lo que cambia el signo del resultado. Practicá con $\frac{x^2+1}{\sin x}$, cuya derivada es $\frac{2x\sin x - (x^2+1)\cos x}{\sin^2 x}$.

Una comprobación con un cociente conocido

Para verificar la fórmula conviene usarla en un cociente que se pueda simplificar. Si $f(x) = \frac{x^5}{x^2}$, se sabe que $f(x) = x^3$ y su derivada es $3x^2$. Con la regla del cociente, $U = x^5$ y $V = x^2$, así que $f'(x) = \frac{5x^4\cdot x^2 - x^5\cdot 2x}{x^4} = \frac{5x^6 - 2x^6}{x^4} = 3x^2$. Coincide. Un error clásico es dar vuelta el numerador y escribir $U V' - U' V$, que da el resultado con el signo cambiado, $-3x^2$. Si te pasa, es la señal de que invertiste el orden.