Fórmula de la Derivada de la Resta

Fórmula de la Derivada de la Resta

Vamos a plantear el siguiente ejemplo de derivación para comprender mejor esta fórmula planteada: Fórmula de la Derivada de la Resta.

Vamos a plantear el siguiente ejemplo de derivación para comprender mejor esta fórmula planteada:

La regla

La forma de derivar una resta de funciones es muy parecida a la de la suma. Si $h(x) = f(x) - g(x)$, entonces $$h'(x) = f'(x) - g'(x)$$ Se deriva cada función por separado y se restan las derivadas, respetando el orden. Es la misma propiedad de linealidad de la suma, con el signo cambiado.

El ejemplo de la clase

La función es $f(x) = \cos(x) - \log(x)$. La derivada de $\cos(x)$ es $-\sin(x)$, y la derivada de $\log(x)$ es $\frac{1}{x}$. Restando, el resultado es $f'(x) = -\sin(x) - \frac{1}{x}$. Atención al signo: el menos del seno viene de la derivada del coseno, y el menos de $\frac{1}{x}$ viene de la resta.

Cuidado con los signos

Los errores más frecuentes en este tipo de ejercicios son de signos. Una buena práctica es escribir la derivada de cada término entre paréntesis antes de operar. Así, $\left(-\sin(x)\right) - \left(\frac{1}{x}\right)$ deja en evidencia que hay dos signos menos con orígenes distintos. Cuando se trabaja con polinomios, ocurre lo mismo: la derivada de $x^3 - x^2 + 5$ es $3x^2 - 2x$, porque la derivada del 5, una constante, es cero.

Derivar restas dentro de una función compuesta

Si la resta está dentro de otra función, como en $\sin(x^2 - x)$, ya no alcanza con esta regla: hay que usar la regla de la cadena, que se ve al final del curso. La resta se deriva término a término solo cuando es la operación de más afuera, es decir, cuando toda la función es una resta de dos funciones.

Para practicar

Derivá $x^5 - e^x$, que da $5x^4 - e^x$, y $\log|x| - x^3$, que da $\frac{1}{x} - 3x^2$. Esta última es el ejercicio 13 del repartido de derivadas. Comprobar los signos paso a paso es la mejor manera de evitar el error más común de la resta.

Un ejemplo completo con comprobación

Para $f(x) = x^4 - 3x^2 + \log|x|$ se deriva término a término: $4x^3$, menos $6x$, más $\frac{1}{x}$. Queda $f'(x) = 4x^3 - 6x + \frac{1}{x}$. Para comprobar, se evalúa en $x = 1$: $4 - 6 + 1 = -1$. Como la derivada es negativa en ese punto, la función decrece ahí, y eso se puede verificar mirando valores cercanos de la función original.