Fórmula de la Derivada de una Suma

Fórmula de la Derivada de una Suma

Ejemplo de la Derivada de una Suma Si nos planteamos la siguiente función que es una suma de funciones y planteamos la fórmula anteriormente establecida obtenemos: Fórmula de la Derivada de una Suma.

Ejemplo de la Derivada de una Suma Si nos planteamos la siguiente función que es una suma de funciones y planteamos la fórmula anteriormente establecida obtenemos:

La regla

Para calcular la derivada de una suma de funciones se aplica una fórmula muy sencilla: la derivada de una suma es la suma de las derivadas. Si $h(x) = f(x) + g(x)$, entonces $$h'(x) = f'(x) + g'(x)$$ Se deriva cada término por separado, como si fuera la única función, y después se suman los resultados.

El ejemplo de la clase

La función es $h(x) = x^3 + \sin(x)$. Es la suma de dos funciones: una potencia y un seno. La derivada de $x^3$ es $3x^2$ y la derivada de $\sin(x)$ es $\cos(x)$. Sumando, se obtiene $h'(x) = 3x^2 + \cos(x)$.

Por qué funciona

La razón está en la definición de derivada como límite. El cociente incremental de una suma es la suma de los cocientes incrementales de cada término, y el límite de una suma es la suma de los límites. Es una propiedad de linealidad: derivar respeta la suma, igual que respeta la multiplicación por una constante.

La constante que multiplica

Una consecuencia directa es que una constante que multiplica una función sale fuera de la derivada: la derivada de $5\sin(x)$ es $5\cos(x)$. Y la derivada de una constante sola es cero. Con estas dos ideas y la regla de la potencia se puede derivar cualquier polinomio, término a término.

Más ejemplos

La derivada de $x^5 + x^3$ es $5x^4 + 3x^2$. La derivada de $e^x + x^2$ es $e^x + 2x$. Y la derivada de $x^2 + \sin(x)$ es $2x + \cos(x)$. En todos los casos el procedimiento es el mismo: separar, derivar y sumar.

Un error frecuente

Un error muy común es creer que esta propiedad también vale para el producto, es decir, que la derivada de un producto es el producto de las derivadas. No es así: para multiplicaciones hay una fórmula distinta, que se ve en otra clase. La suma y la resta son las únicas operaciones que se derivan término a término sin más. Después de ver la clase, derivá $x^4 + \cos(x)$ y compará con $4x^3 - \sin(x)$.

Un ejemplo con tres términos

La regla se extiende a cualquier cantidad de términos. Para $f(x) = 2x^3 + \sin(x) + e^x$ se deriva cada uno: $6x^2$, $\cos(x)$ y $e^x$. El resultado es $f'(x) = 6x^2 + \cos(x) + e^x$. Notá que el 2 que multiplica a $x^3$ se conserva y se multiplica por el exponente. Una buena comprobación es contar los términos: la derivada de una suma de tres términos tiene tres términos, salvo que alguno sea una constante, cuya derivada es cero.