Fórmula de la Derivada por definición

Fórmula de la Derivada por definición

Fórmula de la Derivada por definición. Del curso Derivadas de Funciones – Curso Gratis, resuelta paso a paso.

Éste va a ser solamente el principio de la utilización de esta herramienta matemática; ya que a partir del cálculo de la derivada y posteriormente con el cálculo de su signo vamos a obtener una cantidad de datos sobre la función original que van a ser relevantes para estudios de funciones. En principio nos vamos abocar al cálculo de derivadas en este ejercicio en forma práctica a partir de la tabla de derivadas y viendo el álgebra de derivadas es decir cómo se derivan diferentes operaciones. Estas operaciones diferentes que vamos a derivar pueden ser polinomios, logaritmos, potencias y exponenciales; además de calcular sumas restas divisiones multiplicaciones. También vamos a realizar el cálculo de funciones compuestas aplicando la regla de la cadena para poder resolverlas.

Qué es la derivada

Cuando se calcula la derivada de una función se calcula la velocidad de cambio instantánea de esa función respecto de la variable independiente. En otras palabras, la derivada muestra cómo cambia la función cuando cambia la variable $x$. Es el punto de partida de todo el curso: antes de aprender a derivar con una tabla, hay que entender de dónde sale ese resultado.

La definición

La derivada de una función es un concepto localizado: su cálculo es el límite de la rapidez de cambio medio de la función en un intervalo, cuando el intervalo de la variable independiente tiende a cero. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto. La fórmula es $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ El numerador es cuánto cambió la función y el denominador es cuánto cambió la variable. El cociente es la velocidad media en ese tramo, y el límite lleva ese tramo a tamaño cero.

Un ejemplo calculado por definición

Para $f(x) = x^2$, se reemplaza en la fórmula: $\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h}$. Sacando factor común $h$ y simplificando queda $2x + h$. Cuando $h$ tiende a 0, el resultado es $2x$. Entonces la derivada de $x^2$ es $2x$, el mismo resultado que da la regla de la tabla.

Por qué se usa la tabla

Calcular un límite para cada función sería muy lento. Por eso, una vez comprendida la definición, se arma una tabla de derivadas y se usa el álgebra de derivadas: cómo se derivan sumas, restas, productos y cocientes. Eso es lo que se hace en el resto del curso. Pero la definición sigue siendo útil en las pruebas, donde a veces piden derivar «por definición».

Para qué sirve conocer la derivada

A partir de la derivada y, después, de su signo, se obtiene mucha información sobre la función original: dónde crece, dónde decrece, dónde tiene máximos y mínimos. En este curso el foco es el cálculo práctico, con polinomios, logaritmos, potencias, exponenciales, trigonométricas y funciones compuestas con la regla de la cadena. Para practicar la definición, calculá la derivada de $f(x) = 3x$: el cociente da 3 para cualquier $h$, y el límite es 3.