Derivadas de una función: un concepto que posee varias aplicaciones.

Derivadas de una función: un concepto que posee varias aplicaciones.

Se aplica en aquellos casos en los que es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una función.

Se aplica en aquellos casos en los que es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una función. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y otras ciencias exactas, también en ciencias sociales tales como Economía y Sociología. Por ejemplo, cuando se considera una gráfica de dos dimensiones, se usa la derivada como pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto.Se puede calcular la pendiente de la tangente como límite cuando la distancia entre los 2 puntos que determinan una recta secante a la función tiende a cero. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas otra propiedades de los gráficos de funciones; tales como monotonía de una función además de su concavidad o convexidad.

Para qué se usa la derivada

La derivada se aplica en todos los casos en los que es necesario medir la rapidez con la que se produce el cambio de una función. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y otras ciencias exactas, y también en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por eso se insiste tanto en aprender a calcularla bien.

Crecimiento y decrecimiento

La función derivada informa si la función original crece o decrece: si $f'(x) > 0$, la función crece en ese tramo, y si $f'(x) < 0$, decrece. Pero no solo eso: también indica con qué velocidad. Un valor más alto de la derivada significa que, para un mismo cambio de la variable independiente, se produce un cambio mayor en la variable dependiente.

Máximos y mínimos

Allí donde la derivada se anula y cambia de signo, la función tiene un máximo o un mínimo local. Es el cálculo de máximos y mínimos, que permite resolver problemas de optimización: el mayor beneficio, el menor costo, el mayor volumen para una cantidad de material dada. Por ejemplo, la función $f(x) = x^2 - 4x$ tiene derivada $2x - 4$, que se anula en $x = 2$, donde está su mínimo.

La recta tangente

En una gráfica de dos dimensiones, la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Esa pendiente se puede calcular como el límite de las pendientes de las rectas secantes, cuando la distancia entre los dos puntos que definen la secante tiende a cero. Con la pendiente y el punto, se arma la ecuación de la tangente: para $f(x) = x^2$ en $x = 1$, la pendiente es 2 y la tangente es $y = 2x - 1$.

Concavidad y otras propiedades

Con esta interpretación se pueden determinar muchas otras propiedades de las gráficas de funciones, como su monotonía y su concavidad o convexidad. La derivada segunda permite saber si la gráfica se curva hacia arriba o hacia abajo, y sirve para clasificar los máximos y mínimos.

Qué sigue

En cursos más avanzados, la derivada es la base de los límites indeterminados, el desarrollo en series, las ecuaciones diferenciales y la integral. Por eso se aconseja prestar especial atención al cálculo de derivadas: es una de las grandes herramientas de la matemática para aplicarse en otras ciencias.