Derivada de Multiplicación con Logaritmos

Derivada de Multiplicación con Logaritmos

Derivada de Multiplicación con Logaritmos. Del curso Derivadas de Funciones – Curso Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase resuelve el ejercicio 19 del repartido: $f(x) = (x^2 + 1)\log(x)$. Es otro caso de derivada de una multiplicación en el que el logaritmo hace de segundo factor. Se aplica la misma fórmula de la clase anterior: la derivada del primer factor por el segundo sin derivar, más el primer factor sin derivar por la derivada del segundo.

Identificar los factores y sus derivadas

El primer factor es $U(x) = x^2 + 1$, cuya derivada es $U'(x) = 2x$. El segundo es $V(x) = \log(x)$, con derivada $V'(x) = \frac{1}{x}$. Conviene escribirlos al costado para después armar la fórmula sin errores.

La derivada

Aplicando la fórmula, resulta $$f'(x) = 2x\log(x) + (x^2+1)\cdot\frac{1}{x}$$ Esa es la derivada, y con eso el ejercicio está planteado correctamente.

Simplificar para estudiar el signo

Como explica el video, el cálculo de una derivada normalmente se hace para obtener información sobre la función, y la más importante es el signo de la derivada. Por eso, después de aplicar la fórmula conviene simplificar. Acá, $(x^2+1)\cdot\frac{1}{x} = \frac{x^2+1}{x}$, y la derivada se puede escribir con denominador común como $\frac{2x^2\log(x) + x^2 + 1}{x}$. Esa forma tiene un único denominador y un único numerador, y es más fácil estudiar su signo y sus raíces.

Qué pasa con el dominio

La función $\log(x)$ está definida solamente para $x > 0$, y por eso la derivada también. Al estudiar la derivada hay que tener presente que $x$ no puede ser cero ni negativo, y que el denominador $x$ es siempre positivo en el dominio. Este tipo de detalle es el que distingue un cálculo mecánico de un estudio completo.

Para repasar

Los pasos son identificar los factores, derivar cada uno, armar la fórmula y simplificar. Practicá con $x\log(x)$, que da $\log(x) + 1$, y con $(x+1)\log(x)$, que da $\log(x) + \frac{x+1}{x}$.

Comprobación numérica

Al evaluar la derivada en $x = 1$, el logaritmo vale cero y queda solamente el segundo término: $2\cdot 1\cdot \log(1) + (1+1)\cdot\frac{1}{1} = 0 + 2 = 2$. Es un valor fácil de verificar con una calculadora: $f(1) = 0$ y $f(1{,}01) = (2{,}0201)\cdot\log(1{,}01) \approx 0{,}0201$, y el cociente incremental es cercano a 2. Cuando se pueden elegir valores donde el logaritmo se anula, como $x = 1$, las comprobaciones son muy sencillas.