Como calcular Derivada de una Multiplicación

Como calcular Derivada de una Multiplicación

Como calcular Derivada de una Multiplicación. Del curso Derivadas de Funciones – Curso Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase resuelve el ejercicio 18 del repartido de derivadas: $f(x) = x^2 \sin(x)$, la multiplicación de dos funciones. Para derivar un producto se usa la fórmula de la tabla: la derivada del primer factor por el segundo sin derivar, más el primer factor sin derivar por la derivada del segundo.

Identificar los factores

Se llama $U(x) = x^2$ al primer factor y $V(x) = \sin(x)$ al segundo. Se calculan por separado sus derivadas: $U'(x) = 2x$ y $V'(x) = \cos(x)$. Cuando ya hay práctica suficiente, a veces no hace falta anotar estos cuatro elementos, pero al principio conviene escribirlos.

Armar la derivada

Se aplica la fórmula $f'(x) = U'(x)\,V(x) + U(x)\,V'(x)$. Reemplazando, queda $$f'(x) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$$ El primer término es la derivada de $x^2$ multiplicada por el seno sin derivar. El segundo es $x^2$ sin derivar por la derivada del seno.

Qué pasaría si se derivara factor por factor

Si se calculara el producto de las derivadas, $2x \cos(x)$, el resultado sería incorrecto. Se puede comprobar con un ejemplo numérico: para $x = 0$, la derivada correcta vale $0 + 0 = 0$, pero eso no distingue las dos opciones. Con $x = \frac{\pi}{2}$, la derivada correcta es $\pi \cdot 1 + \frac{\pi^2}{4} \cdot 0 = \pi$, mientras que el producto de derivadas daría $0$. No coinciden, así que la fórmula del producto es necesaria.

Factor común y simplificación

La derivada $2x\sin(x) + x^2\cos(x)$ se puede escribir como $x\left(2\sin(x) + x\cos(x)\right)$, sacando $x$ como factor común. En un estudio de función, esa forma facilita hallar las raíces y el signo. Practicá con $x^3 e^x$, que da $3x^2e^x + x^3e^x = x^2e^x(3+x)$.

Comprobación con otro camino

En este ejercicio no hay un camino alternativo, pero se puede comprobar con un valor numérico. Para $x = 1$, la derivada vale $2\sin(1) + \cos(1) \approx 2(0{,}8415) + 0{,}5403 = 2{,}2233$. Calculando $f(1) = \sin(1) \approx 0{,}8415$ y $f(1{,}001) \approx 0{,}8437$, el cambio por unidad es $\frac{0{,}8437 - 0{,}8415}{0{,}001} \approx 2{,}2$, un valor cercano al de la derivada. También conviene tener presente que, en general, cuando una función es producto de dos factores no constantes, la derivada siempre tiene dos términos. Si en tu resultado hay uno solo, falta un término.