DERIVADA de la multiplicación coseno por exponencial

DERIVADA de la multiplicación coseno por exponencial

DERIVADA de la multiplicación coseno por exponencial. Del curso Derivadas de Funciones – Curso Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve el ejercicio 20 del repartido: $f(x) = e^{x^2}\cos(x)$. Es un producto de una exponencial compuesta por una función trigonométrica, y combina tres reglas: la del producto, la de la exponencial con exponente variable y la derivada del coseno.

Los dos factores

El primer factor es $U(x) = e^{x^2}$. Su derivada, por la regla de la cadena, es la misma exponencial por la derivada del exponente: $U'(x) = 2x\,e^{x^2}$. El segundo factor es $V(x) = \cos(x)$, con derivada $V'(x) = -\sin(x)$.

Armar la derivada

Aplicando la fórmula del producto: $f'(x) = 2x\,e^{x^2}\cos(x) + e^{x^2}\cdot\left(-\sin(x)\right)$. Acá aparece un consejo importante del video: cuando se multiplica por un factor negativo hay que poner un paréntesis. Sin el paréntesis, el signo menos se puede confundir con una resta.

Dos consejos para simplificar

El primero es que, en las derivadas con exponenciales, la exponencial queda en los dos términos, y por eso se puede sacar como factor común. Así, $f'(x) = e^{x^2}\left(2x\cos(x) - \sin(x)\right)$. El segundo es que, cuando en un término hay más de un signo, se multiplican los signos: un más por un menos es un menos. De este modo $+e^{x^2}\cdot(-\sin x)$ se transforma en $-e^{x^2}\sin(x)$.

Por qué conviene la forma factorizada

Como $e^{x^2}$ es siempre positiva, el signo de la derivada depende únicamente del paréntesis $2x\cos(x) - \sin(x)$. Es una simplificación importante: desaparece una parte de la expresión que no influye en el signo. En un estudio de funciones, eso ahorra mucho trabajo.

Para practicar

Derivá $e^{3x}\sin(x)$, que da $e^{3x}\left(3\sin(x) + \cos(x)\right)$, y $x\,e^{x^2}$, que da $e^{x^2}(1 + 2x^2)$. En los dos casos, sacá la exponencial como factor común y comprobá el resultado.

Comprobación con un valor

Para controlar el resultado, se evalúa en $x = 0$. La exponencial vale 1, el coseno vale 1 y el seno vale 0, así que $f'(0) = 1\cdot(0\cdot 1 - 0) = 0$. Que la derivada se anule en 0 indica un punto crítico. Cerca de 0, $e^{x^2} \approx 1 + x^2$ y $\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}$, así que $f(x) \approx 1 + \frac{x^2}{2}$: es mayor que 1 a ambos lados, y por lo tanto $f(0) = 1$ es un mínimo local. Es una forma de interpretar la derivada, además de calcularla.