Como DERIVAR División con SENO

Como DERIVAR División con SENO

Como DERIVAR División con SENO. Del curso Derivadas de Funciones – Curso Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase resuelve el ejercicio 21 del repartido: $f(x) = \frac{x^2+1}{\sin(x)}$, la división de dos funciones. Se aplica la fórmula del cociente de la tabla de derivadas. El numerador se llama $U(x)$ y el denominador $V(x)$, aunque puede usarse cualquier letra.

Identificar numerador y denominador

El numerador es $U(x) = x^2 + 1$, con derivada $U'(x) = 2x$. El denominador es $V(x) = \sin(x)$, con derivada $V'(x) = \cos(x)$. Para no equivocarse, el video recomienda identificar cada parte, derivarla por separado y recién entonces armar la fórmula.

Armar la derivada

La fórmula es la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo dividido el denominador al cuadrado: $$f'(x) = \frac{2x\sin(x) - (x^2+1)\cos(x)}{\sin^2(x)}$$ Se escribe $\sin^2(x)$ para indicar el cuadrado de todo el seno de $x$.

Un detalle sobre los paréntesis

Fijate que $x^2 + 1$ va entre paréntesis cuando se multiplica por el coseno, porque el signo menos de la fórmula afecta a todo el producto. Olvidar ese paréntesis cambia el signo del término $1\cdot\cos(x)$, y es un error muy común.

Por qué simplificar

La derivada se calcula sobre todo para estudiar su signo. Para eso conviene dejar el numerador y el denominador lo más simples posible, porque lo que importa son sus raíces y su signo. En este ejercicio, el denominador $\sin^2(x)$ es siempre positivo salvo donde se anula, así que el signo de la derivada lo da el numerador $2x\sin(x) - (x^2+1)\cos(x)$.

Para tener presente

Cuando hay una división, nunca se derivan numerador y denominador por separado dividiendo las derivadas: la derivada de un cociente no es el cociente de las derivadas. Practicá con $\frac{x}{\cos(x)}$, que da $\frac{\cos(x) + x\sin(x)}{\cos^2(x)}$, y con $\frac{\sin(x)}{x}$, que da $\frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2}$.

Comprobación con un valor

Se puede evaluar la derivada en $x = \frac{\pi}{2}$, donde $\sin = 1$ y $\cos = 0$. La fórmula da $\frac{2\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 1 - 0}{1} = \pi$. Como $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^2}{4} + 1 \approx 3{,}47$, la derivada positiva indica que ahí la función crece. Se trata de un buen ejercicio de interpretación.