COMO resolver DERIVADAS de SENO

COMO resolver DERIVADAS de SENO

COMO resolver DERIVADAS de SENO. Del curso Derivadas de Funciones – Curso Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se agrega la función seno al repertorio. La derivada de $\sin(x)$ es $\cos(x)$. Si dentro del seno hay otra función, la regla de la cadena indica que la derivada es la derivada de la función de adentro por el coseno de esa misma función: $\left(\sin(U(x))\right)' = U'(x)\cos(U(x))$. Se resuelven los ejercicios 16 y 17 del repartido.

Ejercicio 16: x al cuadrado más seno de x

Es una suma y se deriva término a término. La derivada de $x^2$ es $2x$ y la de $\sin(x)$ es $\cos(x)$. El resultado es $f'(x) = 2x + \cos(x)$. Cada término se trata como si fuera una función diferente.

Ejercicio 17: seno de x al cuadrado más x

En este caso el seno no está aplicado sobre la variable sino sobre otra función: $U(x) = x^2 + x$, con derivada $U'(x) = 2x + 1$. La derivada es $U'(x)$ multiplicada por el coseno de $U(x)$: $$f'(x) = (2x+1)\cos(x^2+x)$$ Hay que mantener el argumento del coseno igual al del seno original: el $x^2+x$ no se modifica.

Diferencia entre las dos situaciones

Compará los dos ejercicios. En el 16 la función seno actúa sobre $x$, así que su derivada es simplemente $\cos(x)$. En el 17 actúa sobre $x^2 + x$, y entonces aparece un factor extra. Reconocer cuándo hay una función compuesta es la habilidad más importante de este tema.

Qué hacer con el coseno

El coseno se deriva de forma parecida, pero con un signo menos: $\left(\cos(x)\right)' = -\sin(x)$. Es un error clásico olvidarse de ese signo. Para no caer en él, memorizá la pareja: seno sube a coseno y coseno baja a menos seno.

Para practicar

Derivá $\sin(3x)$, que da $3\cos(3x)$, y $\sin(x^3)$, que da $3x^2\cos(x^3)$. Después comprobá con la tabla de derivadas que reconocés la regla en cada caso.

Cuidado con la notación

Es común confundir $\sin(x^2)$ con $\sin^2(x)$. La primera es el seno de $x$ al cuadrado, una función compuesta cuya derivada es $2x\cos(x^2)$. La segunda es el cuadrado del seno de $x$, con derivada $2\sin(x)\cos(x)$. Por eso conviene leer con atención cómo está escrito el ejercicio antes de elegir la regla. En el ejercicio 17, el argumento del seno es $x^2 + x$, así que corresponde la primera forma.