COMO calcular DERIVADAS de función Logarítmica

COMO calcular DERIVADAS de función Logarítmica

COMO calcular DERIVADAS de función Logarítmica. Del curso Derivadas de Funciones – Curso Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Esta clase incorpora al cálculo de derivadas la función logaritmo. En la tabla, la derivada de $\log|x|$ es $\frac{1}{x}$, y si dentro del logaritmo hay una función $U(x)$, la derivada es la derivada de esa función dividida por la propia función: $\left(\log|U(x)|\right)' = \frac{U'(x)}{U(x)}$. Se resuelven los ejercicios 13, 14 y 15 del repartido.

Ejercicio 13: logaritmo de x menos x al cubo

Es una resta de dos funciones, así que se deriva término a término. La derivada del logaritmo es $\frac{1}{x}$. La derivada de $x^3$ es $3x^2$. El resultado es $f'(x) = \frac{1}{x} - 3x^2$.

Ejercicio 14: logaritmo de x al cuadrado más 2

Acá hay una función compuesta: dentro del logaritmo está $U(x) = x^2 + 2$, cuya derivada es $U'(x) = 2x$. Se aplica la fórmula y queda $f'(x) = \frac{2x}{x^2+2}$. La derivada tiene como numerador la derivada de lo que está adentro y como denominador lo que está adentro.

Ejercicio 15: una suma con exponencial y logaritmo

La función es $f(x) = e^{x^2} + \log|x^3 + 2x|$. Son dos términos, cada uno con su regla. La exponencial da $2x\,e^{x^2}$, por la derivada del exponente $x^2$. Para el logaritmo, $U(x) = x^3 + 2x$ y $U'(x) = 3x^2 + 2$, así que la derivada es $\frac{3x^2+2}{x^3+2x}$. La derivada completa es $$f'(x) = 2x\,e^{x^2} + \frac{3x^2+2}{x^3+2x}$$

Cómo trabajar con funciones cada vez más complejas

El video recuerda que, a medida que las funciones se complican, el procedimiento sigue siendo el mismo: separar los términos, identificar la función de adentro de cada uno, derivarla y armar la fórmula. No hace falta memorizar resultados, sino reconocer qué regla de la tabla corresponde en cada caso.

Un error frecuente

Muchos estudiantes escriben la derivada de $\log|x^2+2|$ como $\frac{1}{x^2+2}$, olvidando multiplicar por la derivada de lo de adentro. Si en el numerador no aparece $2x$, falta un paso. Practicá con $\log|3x+1|$, que da $\frac{3}{3x+1}$.

Una comprobación numérica

Para controlar el ejercicio 14, $f(x) = \log|x^2+2|$, se evalúa la derivada en $x = 1$: $\frac{2\cdot 1}{1+2} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67$. Con una calculadora, $f(1) = \log 3 \approx 1{,}0986$ y $f(1{,}01) = \log 3{,}0201 \approx 1{,}1053$. El cociente incremental es $\frac{1{,}1053 - 1{,}0986}{0{,}01} \approx 0{,}67$. Coincide con la derivada, y es una comprobación que se puede aplicar a cualquier ejercicio del repartido.