COMO Calcular la Derivada de una función exponencial

COMO Calcular la Derivada de una función exponencial

COMO Calcular la Derivada de una función exponencial. Del curso Derivadas de Funciones – Curso Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase aplica la tabla a las funciones exponenciales, representadas por la más clásica: la de base $e$. Se resuelven los ejercicios 7, 8 y 9 del repartido. La regla central es que la derivada de $e^x$ es $e^x$, y que si el exponente es una función $U(x)$, la regla de la cadena indica que la derivada es la misma exponencial multiplicada por la derivada del exponente: $\left(e^{U(x)}\right)' = U'(x)\,e^{U(x)}$.

Ejercicio 7: e elevado a x más x al cuadrado

Es una suma de una exponencial y un polinomio. Se aplica que la derivada de la suma es la suma de las derivadas: la derivada de $e^x$ es $e^x$ y la de $x^2$ es $2x$. El resultado es $f'(x) = e^x + 2x$.

Ejercicio 8: e elevado a x al cubo

Acá el exponente no es $x$ sino $x^3$, así que hay una función compuesta. Se llama $U(x) = x^3$, cuya derivada es $U'(x) = 3x^2$. La derivada es la exponencial sin cambios por la derivada del exponente: $f'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2$, que se escribe $3x^2 e^{x^3}$. El orden de los factores no cambia el resultado.

Ejercicio 9: x a la cuarta más e elevado a x al cuadrado

Hay dos términos: un polinomio y una exponencial compuesta. Se deriva cada uno como si fuera el único. La derivada de $x^4$ es $4x^3$. La de $e^{x^2}$ es $e^{x^2}$ por la derivada del exponente, que es $2x$. La derivada completa es $f'(x) = 4x^3 + 2x\,e^{x^2}$.

Sacar factor común

En ejercicios donde la exponencial aparece en varios términos, conviene sacarla como factor común, porque queda en todos los términos. Esto simplifica el cálculo posterior del signo de la derivada, que es lo más importante cuando se estudia el crecimiento de una función.

Para recordar

La clave de esta clase es identificar el exponente como una función aparte, derivarlo y multiplicar. Si al exponente se lo deriva mal, el resultado entero sale mal. Practicá con $e^{2x}$, que da $2e^{2x}$, y con $e^{x^2+1}$, que da $2x\,e^{x^2+1}$.