Qué aprenderás en esta clase
Límite al infinito de una raíz cuadrada menos x, resuelto con el conjugado, entre cuatro opciones de resultado que hay que justificar.
El ejercicio de esta clase
Se pide calcular el límite, cuando tiende a infinito, de . Se presentan cuatro valores posibles, y hay que indicar cuál es el correcto, justificando la respuesta con el desarrollo. Es una indeterminación de tipo infinito menos infinito.
Qué se practica
La técnica es multiplicar y dividir por el conjugado, que convierte la diferencia en un cociente en el que desaparece la raíz del numerador. Después se divide numerador y denominador por la mayor potencia de , o se comparan los términos de mayor grado. Resolver el ejercicio con el desarrollo completo, y no solo elegir una opción, es lo que pide el enunciado, y es la forma de evitar errores de signo, que son los más frecuentes en este tipo de límites.
El tema del módulo: Límites, Continuidad y Derivadas
Este módulo recorre los temas centrales de un primer curso de análisis: límites, continuidad, derivadas y sus teoremas, y también integrales, volúmenes de revolución y series. Los problemas suelen mezclar varios conceptos. Una función definida por tramos pide estudiar la continuidad en los puntos de unión, y para eso se calculan los límites laterales y se los compara con el valor de la función. Los teoremas de Rolle y del valor medio exigen verificar hipótesis, continuidad en un intervalo cerrado y derivabilidad en el abierto, antes de buscar el punto que garantizan. Y el cálculo integral aporta áreas, valores medios y volúmenes.
Ideas que se usan en este tema
En una función definida por tramos, la continuidad en el punto de unión se estudia calculando los dos límites laterales y comparándolos con el valor de la función en ese punto.
El teorema de Rolle pide continuidad en un intervalo cerrado, derivabilidad en el abierto y valores iguales en los extremos; si se cumplen, hay un punto con derivada nula.
El teorema del valor medio de Lagrange generaliza el de Rolle: garantiza un punto donde la derivada es igual a la pendiente de la secante entre los extremos.
Errores frecuentes
Aplicar un teorema sin verificar las hipótesis; si falla alguna, el teorema no se puede usar, aunque el resultado parezca correcto.
Calcular solo un límite lateral en el punto de unión de una función por tramos y dar por probada la continuidad.