Límites, Continuidad y Derivadas

El ejercicio de esta clase

La función $g(x)$ vale $\frac{x^2 - b^2}{x - b}$ cuando $x$ es distinto de $b$, y vale cero cuando $x = b$. Se hacen tres preguntas: si existe $g(b)$, si existe el límite de $g$ en $b$, y si la función es continua en $x = b$. Es un ejercicio conceptual breve.

Qué se practica

Se separan las tres cuestiones. El valor de la función en el punto es el que da la definición. El límite se calcula con los valores cercanos a $b$, simplificando la expresión por factorización, sin usar el valor en el punto. Y la continuidad exige comparar los dos. Muestra con claridad que la existencia del límite y la existencia del valor son independientes, y que la continuidad es la condición que los une.

El tema del módulo: Límites, Continuidad y Derivadas

Un curso de análisis se apoya en el rigor: no alcanza con obtener un resultado, hay que justificar cada paso. Por eso los ejercicios piden verificar hipótesis de teoremas, enunciar condiciones de continuidad, justificar un límite con su desarrollo o interpretar gráficamente lo que dice un teorema. Los temas están encadenados: los límites permiten definir la continuidad y la derivada, la derivada alimenta teoremas como el de Rolle y el del valor medio, y la integral se relaciona con ellos a través del teorema fundamental y del valor medio integral. Dominar el módulo es dominar esa cadena.

Ideas que se usan en este tema

El teorema del valor medio de Lagrange generaliza el de Rolle: garantiza un punto donde la derivada es igual a la pendiente de la secante entre los extremos.

En un límite al infinito con una raíz, un recurso habitual es multiplicar y dividir por el conjugado para eliminar la indeterminación.

El teorema del valor medio para integrales dice que, para una función continua, existe un punto en el que su valor es igual al promedio de la función en el intervalo.

Errores frecuentes

Calcular solo un límite lateral en el punto de unión de una función por tramos y dar por probada la continuidad.

Confundir la existencia del límite en un punto con la existencia del valor de la función en ese punto: son condiciones distintas.