Qué aprenderás en esta clase
Teorema de Rolle para la función cúbica f(x) = x³ − 12x: verificar las hipótesis y hallar los puntos que garantiza el teorema.
El ejercicio de esta clase
Se trabaja con el polinomio en un intervalo dado. La primera parte pide verificar que se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle. La segunda pide, si es así, encontrar los valores de que satisfacen el teorema en ese intervalo.
Qué se practica
Se comprueba que la función es continua en el intervalo cerrado y derivable en el abierto, lo que se cumple siempre en un polinomio, y que toma el mismo valor en los dos extremos. Después se resuelve la ecuación , que en una cúbica es una ecuación de segundo grado, y se verifica cuáles de sus soluciones pertenecen al intervalo abierto. Es un ejercicio para ver la conexión entre la derivada, los puntos de pendiente horizontal y los valores de la función en los extremos.
El tema del módulo: Límites, Continuidad y Derivadas
Este módulo recorre los temas centrales de un primer curso de análisis: límites, continuidad, derivadas y sus teoremas, y también integrales, volúmenes de revolución y series. Los problemas suelen mezclar varios conceptos. Una función definida por tramos pide estudiar la continuidad en los puntos de unión, y para eso se calculan los límites laterales y se los compara con el valor de la función. Los teoremas de Rolle y del valor medio exigen verificar hipótesis, continuidad en un intervalo cerrado y derivabilidad en el abierto, antes de buscar el punto que garantizan. Y el cálculo integral aporta áreas, valores medios y volúmenes.
Ideas que se usan en este tema
En un límite al infinito con una raíz, un recurso habitual es multiplicar y dividir por el conjugado para eliminar la indeterminación.
El teorema del valor medio para integrales dice que, para una función continua, existe un punto en el que su valor es igual al promedio de la función en el intervalo.
Para el volumen de un sólido de revolución se integra el área de las secciones circulares; el método de las arandelas resta el cuadrado del radio interior al del radio exterior.
Errores frecuentes
Confundir la existencia del límite en un punto con la existencia del valor de la función en ese punto: son condiciones distintas.
En un volumen de revolución, olvidar el cuadrado dentro de la integral o usar el eje de giro equivocado.