Límites, Continuidad y Derivadas

El ejercicio de esta clase

La función tiene dos tramos: para valores menores o iguales que $\pi$ es una expresión lineal que depende de $k$, y para valores mayores es $k$ multiplicado por el seno de $x$. Se pide encontrar el valor de la constante $k$ que hace continua a la función, enunciar las tres condiciones de continuidad y comprobarlas con el valor hallado, y bosquejar el gráfico desde $-\pi$ hasta $3\pi$.

Qué se practica

El punto crítico es $x = \pi$. Se calcula el límite por la izquierda y por la derecha en función de $k$, y se iguala, lo que da una ecuación para $k$. Después se comprueba cada una de las tres condiciones: que la función esté definida en $\pi$, que exista el límite y que coincida con el valor. El gráfico muestra una recta que empalma con una onda seno, y sirve de comprobación visual del resultado.

El tema del módulo: Límites, Continuidad y Derivadas

Un curso de análisis se apoya en el rigor: no alcanza con obtener un resultado, hay que justificar cada paso. Por eso los ejercicios piden verificar hipótesis de teoremas, enunciar condiciones de continuidad, justificar un límite con su desarrollo o interpretar gráficamente lo que dice un teorema. Los temas están encadenados: los límites permiten definir la continuidad y la derivada, la derivada alimenta teoremas como el de Rolle y el del valor medio, y la integral se relaciona con ellos a través del teorema fundamental y del valor medio integral. Dominar el módulo es dominar esa cadena.

Ideas que se usan en este tema

El teorema de Rolle pide continuidad en un intervalo cerrado, derivabilidad en el abierto y valores iguales en los extremos; si se cumplen, hay un punto con derivada nula.

El teorema del valor medio de Lagrange generaliza el de Rolle: garantiza un punto donde la derivada es igual a la pendiente de la secante entre los extremos.

En un límite al infinito con una raíz, un recurso habitual es multiplicar y dividir por el conjugado para eliminar la indeterminación.

Errores frecuentes

Calcular solo un límite lateral en el punto de unión de una función por tramos y dar por probada la continuidad.

Confundir la existencia del límite en un punto con la existencia del valor de la función en ese punto: son condiciones distintas.