Qué aprenderás en esta clase
Función definida por tramos con una exponencial: bosquejo y verificación rigurosa de las hipótesis del teorema del valor medio de Lagrange.
El ejercicio de esta clase
Se da una función definida por tres tramos en el intervalo de a 5: vale cero a la izquierda, es la función identidad en un tramo intermedio y una exponencial decreciente en el último. Se pide bosquejar su gráfica y verificar de forma rigurosa las hipótesis del teorema del valor medio de Lagrange, para decidir si se cumple la tesis.
Qué se practica
Primero se grafica cada tramo y se observa el comportamiento en los puntos de unión. Después se estudian la continuidad en todo el intervalo cerrado, con los límites laterales en cada empalme, y la derivabilidad en el intervalo abierto, que exige que las derivadas laterales coincidan en los puntos de unión. Si una de las hipótesis falla, la tesis del teorema no está garantizada, y hay que analizar si se cumple por otra vía. Es un ejercicio típico para aprender a justificar con rigor.
El tema del módulo: Límites, Continuidad y Derivadas
Este módulo recorre los temas centrales de un primer curso de análisis: límites, continuidad, derivadas y sus teoremas, y también integrales, volúmenes de revolución y series. Los problemas suelen mezclar varios conceptos. Una función definida por tramos pide estudiar la continuidad en los puntos de unión, y para eso se calculan los límites laterales y se los compara con el valor de la función. Los teoremas de Rolle y del valor medio exigen verificar hipótesis, continuidad en un intervalo cerrado y derivabilidad en el abierto, antes de buscar el punto que garantizan. Y el cálculo integral aporta áreas, valores medios y volúmenes.
Ideas que se usan en este tema
Una función es continua en un punto si existe el valor de la función, existe el límite y los dos coinciden. Las tres condiciones se enuncian y se comprueban por separado.
En una función definida por tramos, la continuidad en el punto de unión se estudia calculando los dos límites laterales y comparándolos con el valor de la función en ese punto.
El teorema de Rolle pide continuidad en un intervalo cerrado, derivabilidad en el abierto y valores iguales en los extremos; si se cumplen, hay un punto con derivada nula.
Errores frecuentes
Aplicar un teorema sin verificar las hipótesis; si falla alguna, el teorema no se puede usar, aunque el resultado parezca correcto.
Calcular solo un límite lateral en el punto de unión de una función por tramos y dar por probada la continuidad.