Qué aprenderás en esta clase
Qué calcula una integral: el área entre una función y el eje x, con signo, comprobada con el triángulo bajo y = 2x entre 0 y 3.
Qué calcula una integral
Esta clase abre el curso de integrales desde cero. Ya se aprendió a calcular límites y derivadas, y ahora empieza la operación inversa a la derivada: integrar. Una integral es una función matemática que permite calcular el área que hay entre una función y el eje . Dicho sin tanta formalidad, es un área matemática, y por eso tiene una particularidad: es un área con signo.
Áreas positivas y áreas negativas
El área que calcula la integral siempre se mide entre el eje y la gráfica de la función. Cuando la función queda por encima del eje, el área sale positiva. Cuando queda por debajo del eje, el valor del área es negativo. En el material original del curso se ilustra con una gráfica en la que una región roja es positiva y una región verde es negativa. Por eso se habla de áreas «aritméticas» o «algebraicas»: a diferencia del área geométrica de una figura, se pueden compensar entre sí.
El ejemplo de la clase: la recta y = 2x entre 0 y 3
Para entender qué se está calculando, la clase empieza con un caso que se puede resolver sin integrales. La función es la recta y se pide el área bajo ella entre y . La región es un triángulo. En la función vale , de modo que el triángulo tiene base 3 y altura 6. Su área es .
El mismo cálculo con una integral
Ahora se hace lo mismo con el cálculo integral: la integral entre 0 y 3 de . Primero se busca la primitiva, que es la función cuya derivada es . Esa función es , más una constante de integración. Después se aplica la regla de Barrow: se evalúa la primitiva en el extremo superior y se le resta su valor en el extremo inferior, . El resultado coincide con el del triángulo, y eso confirma que la integral calcula el área.
Por qué se necesitan integrales
Con una recta bastaba la geometría. Pero si la función es logarítmica, exponencial, un polinomio de tercer grado, o si pasa por encima y por debajo del eje, las figuras dejan de ser regulares y el cálculo con fórmulas de área ya no alcanza. Para eso existe el cálculo integral, y por eso el curso va a aprender primero a calcular primitivas y después a evaluarlas con Barrow. Después de ver el video, repetí el ejercicio con entre 0 y 2: el triángulo da 6 y la integral evaluada entre 0 y 2 también da 6.