Límites de una función definición y aplicación

Qué aprenderás en esta clase

Qué es un límite y para qué sirve: aproximarse a puntos donde la función no existe, límites en el infinito y asíntotas.

Qué es un límite

El límite de una función en un punto describe a qué valor se aproxima la función cuando la variable se acerca a ese punto, sin importar lo que ocurra exactamente en él. Por eso se usa para estudiar qué pasa cerca de un valor en el que la función no está definida, o en el que no se puede calcular reemplazando directamente. Para que el límite exista, el valor al que tiende la función por la izquierda debe ser igual al valor al que tiende por la derecha.

Aproximarse a un punto de no existencia

Una de las aplicaciones más importantes es saber qué sucede cuando la variable se aproxima mucho a un punto en el que la función no existe. Por ejemplo, la función $\frac{x^2-4}{x-2}$ no existe en $x = 2$ , pero su límite en ese punto vale 4: la función se parece a $x + 2$ en todos los puntos menos en ese, y el límite revela que hay un «agujero» en el gráfico y no una ruptura.

Límites en el infinito y asíntotas

La otra gran aplicación es cuando la variable tiende a más o a menos infinito. Ese cálculo es el que habitualmente se llama cálculo de asíntotas. Si el límite en el infinito es un número $L$ , la gráfica tiene una asíntota horizontal en $y = L$ . Si el límite en un punto $a$ es infinito, la gráfica tiene una asíntota vertical en $x = a$ . En el ejercicio 17 del repartido, el límite en el infinito vale $\frac{3}{2}$ , así que la función tiene una asíntota horizontal en $y = \frac{3}{2}$ .

Comportamiento con valores muy grandes

También sirve para analizar el comportamiento de una función cuando la variable toma valores muy grandes, por ejemplo, para saber si una cantidad se estabiliza, crece sin límite o decrece hacia cero. En el ejercicio 15 se vio que $\frac{e^x}{x^2}$ crece sin límite, mientras que en el 16 el cociente $\frac{\ln(x^2+1)}{x+1}$ se achica hasta cero.

Por qué es una base imprescindible

Estos son solo algunos ejemplos de una infinidad de aplicaciones. El cálculo de límites es un cálculo básico que más adelante hará falta para enfrentar temas más complicados: la definición de derivada es un límite, la integral definida es un límite y la convergencia de series también. Por eso se recomienda tener una buena base desde el comienzo.

Para repasar

Antes de seguir con otros cursos, comprobá que sabés contestar estas preguntas: qué significa que existan los límites laterales, cuándo hay una asíntota horizontal y cuándo una vertical, y cómo se decide entre dos infinitos de distinto orden. Si dudás de alguna, volvé a la clase correspondiente del curso.