Qué aprenderás en esta clase
Integral de un coseno cuyo argumento es una raíz de x: sustitución para eliminar el radical.
El ejercicio de esta clase
Se pide resolver una integral indefinida en la que el integrando es el coseno de una potencia fraccionaria de , una raíz de . A primera vista no es una integral inmediata, porque el argumento del coseno no es lineal.
Qué se practica
La técnica es la sustitución: se llama a la raíz que aparece, de modo que desaparezca el radical, y se expresa en función de . La integral que resulta es el producto de una potencia por un coseno, que se resuelve por partes. Después se deshace la sustitución. Es un ejercicio que encadena dos métodos, sustitución e integración por partes, y que obliga a ser ordenado en el cambio de variable.
El tema del módulo: Límites, Continuidad y Derivadas
Este módulo recorre los temas centrales de un primer curso de análisis: límites, continuidad, derivadas y sus teoremas, y también integrales, volúmenes de revolución y series. Los problemas suelen mezclar varios conceptos. Una función definida por tramos pide estudiar la continuidad en los puntos de unión, y para eso se calculan los límites laterales y se los compara con el valor de la función. Los teoremas de Rolle y del valor medio exigen verificar hipótesis, continuidad en un intervalo cerrado y derivabilidad en el abierto, antes de buscar el punto que garantizan. Y el cálculo integral aporta áreas, valores medios y volúmenes.
Ideas que se usan en este tema
El teorema de Rolle pide continuidad en un intervalo cerrado, derivabilidad en el abierto y valores iguales en los extremos; si se cumplen, hay un punto con derivada nula.
El teorema del valor medio de Lagrange generaliza el de Rolle: garantiza un punto donde la derivada es igual a la pendiente de la secante entre los extremos.
En un límite al infinito con una raíz, un recurso habitual es multiplicar y dividir por el conjugado para eliminar la indeterminación.
Errores frecuentes
Aplicar un teorema sin verificar las hipótesis; si falla alguna, el teorema no se puede usar, aunque el resultado parezca correcto.
Calcular solo un límite lateral en el punto de unión de una función por tramos y dar por probada la continuidad.