Límites, Continuidad y Derivadas

El ejercicio de esta clase

Se consideran las curvas $f(x) = 2 - x^2$ y $g(x) = 1$. La primera parte pide hallar el área de la región comprendida entre ellas, encontrar los puntos de intersección y graficar. La segunda pide hallar el volumen del sólido que resulta al rotar esa figura alrededor de la recta $y = 1$, con la fórmula $V = \pi \int_a^b [R(x)]^2\,dx$.

Qué se practica

Se resuelve la ecuación $f(x) = g(x)$ para hallar los límites de integración, se integra la diferencia de las funciones para el área, y para el volumen se identifica el radio, que es la distancia de la curva al eje de giro. Como el eje de giro es $y = 1$ y coincide con una de las curvas, el radio es la diferencia $f - 1$. Es un ejemplo claro de cómo se pasa de un área plana a un volumen de revolución.

El tema del módulo: Límites, Continuidad y Derivadas

Un curso de análisis se apoya en el rigor: no alcanza con obtener un resultado, hay que justificar cada paso. Por eso los ejercicios piden verificar hipótesis de teoremas, enunciar condiciones de continuidad, justificar un límite con su desarrollo o interpretar gráficamente lo que dice un teorema. Los temas están encadenados: los límites permiten definir la continuidad y la derivada, la derivada alimenta teoremas como el de Rolle y el del valor medio, y la integral se relaciona con ellos a través del teorema fundamental y del valor medio integral. Dominar el módulo es dominar esa cadena.

Ideas que se usan en este tema

Una función es continua en un punto si existe el valor de la función, existe el límite y los dos coinciden. Las tres condiciones se enuncian y se comprueban por separado.

En una función definida por tramos, la continuidad en el punto de unión se estudia calculando los dos límites laterales y comparándolos con el valor de la función en ese punto.

El teorema de Rolle pide continuidad en un intervalo cerrado, derivabilidad en el abierto y valores iguales en los extremos; si se cumplen, hay un punto con derivada nula.

Errores frecuentes

En un volumen de revolución, olvidar el cuadrado dentro de la integral o usar el eje de giro equivocado.

Aplicar un teorema sin verificar las hipótesis; si falla alguna, el teorema no se puede usar, aunque el resultado parezca correcto.