Límites, Continuidad y Derivadas

El ejercicio de esta clase

Se desea calcular el sólido de revolución del área determinada por $f(x) = x + 1$ y $g(x) = 2x^2$, con $x \ge 0$, girando alrededor del eje $X$. La primera parte pide calcular y bosquejar el área entre ambas gráficas, y la segunda, el volumen, usando $V = \pi \int_a^b (f^2 - g^2)\,dx$, donde $b$ es el punto donde se cortan las curvas.

Qué se practica

Se hallan los puntos de corte resolviendo una ecuación de segundo grado y se elige el que cumple $x \ge 0$. El área sale de integrar la diferencia entre la recta y la parábola. Para el volumen se elevan al cuadrado las dos funciones antes de restar, que es el paso donde más se equivoca: el cuadrado de una suma desarrolla tres términos. La figura resultante tiene forma de taza porque la recta queda por encima de la parábola en el intervalo.

El tema del módulo: Límites, Continuidad y Derivadas

Un curso de análisis se apoya en el rigor: no alcanza con obtener un resultado, hay que justificar cada paso. Por eso los ejercicios piden verificar hipótesis de teoremas, enunciar condiciones de continuidad, justificar un límite con su desarrollo o interpretar gráficamente lo que dice un teorema. Los temas están encadenados: los límites permiten definir la continuidad y la derivada, la derivada alimenta teoremas como el de Rolle y el del valor medio, y la integral se relaciona con ellos a través del teorema fundamental y del valor medio integral. Dominar el módulo es dominar esa cadena.

Ideas que se usan en este tema

En una función definida por tramos, la continuidad en el punto de unión se estudia calculando los dos límites laterales y comparándolos con el valor de la función en ese punto.

El teorema de Rolle pide continuidad en un intervalo cerrado, derivabilidad en el abierto y valores iguales en los extremos; si se cumplen, hay un punto con derivada nula.

El teorema del valor medio de Lagrange generaliza el de Rolle: garantiza un punto donde la derivada es igual a la pendiente de la secante entre los extremos.

Errores frecuentes

En un volumen de revolución, olvidar el cuadrado dentro de la integral o usar el eje de giro equivocado.

Aplicar un teorema sin verificar las hipótesis; si falla alguna, el teorema no se puede usar, aunque el resultado parezca correcto.