Qué aprenderás en esta clase
Función por tramos con ceros, identidad y exponencial: verificar hipótesis, calcular la integral definida, el valor medio y bosquejar el teorema.
El ejercicio de esta clase
Se retoma la función definida por tramos del primer ejercicio: cero, identidad y exponencial decreciente en el intervalo de a 5. Esta vez se trabaja con el teorema del valor medio para integrales: hay que verificar sus hipótesis, determinar el valor de la integral definida, calcular el valor medio y hacer un bosquejo que represente el teorema.
Qué se practica
Como la función es continua a trozos y no solo continua, hay que revisar con cuidado si se cumple la hipótesis. La integral se calcula sumando las integrales de cada tramo. El valor medio es la integral dividida por la longitud del intervalo. El bosquejo conceptual muestra el rectángulo que tiene el mismo área que la región bajo la curva. Es un ejercicio que une integrales por tramos con interpretación geométrica.
El tema del módulo: Límites, Continuidad y Derivadas
Este módulo recorre los temas centrales de un primer curso de análisis: límites, continuidad, derivadas y sus teoremas, y también integrales, volúmenes de revolución y series. Los problemas suelen mezclar varios conceptos. Una función definida por tramos pide estudiar la continuidad en los puntos de unión, y para eso se calculan los límites laterales y se los compara con el valor de la función. Los teoremas de Rolle y del valor medio exigen verificar hipótesis, continuidad en un intervalo cerrado y derivabilidad en el abierto, antes de buscar el punto que garantizan. Y el cálculo integral aporta áreas, valores medios y volúmenes.
Ideas que se usan en este tema
Para el volumen de un sólido de revolución se integra el área de las secciones circulares; el método de las arandelas resta el cuadrado del radio interior al del radio exterior.
Una función es continua en un punto si existe el valor de la función, existe el límite y los dos coinciden. Las tres condiciones se enuncian y se comprueban por separado.
En una función definida por tramos, la continuidad en el punto de unión se estudia calculando los dos límites laterales y comparándolos con el valor de la función en ese punto.
Errores frecuentes
Confundir la existencia del límite en un punto con la existencia del valor de la función en ese punto: son condiciones distintas.
En un volumen de revolución, olvidar el cuadrado dentro de la integral o usar el eje de giro equivocado.