Cómo resolver integrales por partes paso a paso (con ejemplos resueltos)

Si llegaste a este artículo escribiendo “integrales por partes” en Google, es casi seguro que estás frente a un ejercicio que no te cierra: probaste sustitución, probaste acomodar la expresión a mano, y no avanza. Buenas noticias: la integración por partes tiene un método fijo, con pasos que se repiten siempre igual. Una vez que lo automatizás, deja de ser un obstáculo.

En PROFEonline corregimos cientos de repartidos y parciales de Cálculo de distintas facultades de Uruguay (Ingeniería, Ciencias, FCEA) y de bachillerato. Este artículo junta lo que realmente hace falta para dominar la integración por partes: la fórmula, un método para elegir bien cada pieza, cinco ejercicios resueltos paso a paso de distinta dificultad (incluyendo el caso definido y el caso cíclico, que son los que más se preguntan en examen), y los errores que más puntos cuestan en un parcial.

Vamos a ir despacio, explicando el porqué de cada paso y no solo el “cómo”, porque memorizar la fórmula sin entenderla dura hasta el primer ejercicio que se presenta distinto al del libro. Si buscás específicamente cómo resolver un ejercicio con exponencial y trigonométricas juntas (el caso más temido), lo vas a encontrar más abajo, con el truco algebraico completo.

¿Por qué la integración por partes te sirve más allá del parcial?

No es solo un obstáculo para pasar Cálculo. La integración por partes reaparece en materias posteriores de casi todas las carreras de Ingeniería y Ciencias:

• Probabilidad y Estadística: calcular la esperanza o la varianza de una variable aleatoria continua (como la exponencial o la gamma) requiere integrar por partes.

• Ecuaciones Diferenciales: varios métodos de resolución (como la transformada de Laplace) se apoyan en integrales por partes para llegar a sus fórmulas.

• Física y Señales: el cálculo de series de Fourier —usado para descomponer una señal en ondas simples— usa integración por partes en casi todos sus coeficientes.

Entenderla bien ahora, con el método completo y no memorizando un ejemplo suelto, te ahorra tener que volver a aprenderla desde cero en tercer o cuarto semestre.

¿Qué es la integración por partes y cuándo se usa?

La integración por partes es, en el fondo, la regla del producto de la derivada, pero leída al revés. Si derivar un producto de dos funciones te da una suma de dos términos, integrar por partes te permite “desarmar” esa suma para volver a la integral original. La fórmula es siempre la misma:

La idea de fondo: tenés una integral con dos funciones multiplicadas ($x$ por $e^x$, un logaritmo por un polinomio, una exponencial por un seno) que no se resuelve por sustitución directa. La fórmula reemplaza esa integral por otra, en teoría más simple. El único trabajo real está en decidir bien quién es $u$ y quién es $dv$.

Usás integración por partes cuando ves alguna de estas combinaciones dentro de una misma integral:

• Un polinomio multiplicado por una exponencial: $\int x e^x \, dx$, $\int x^2 e^{3x} \, dx$.

• Un polinomio multiplicado por un logaritmo: $\int x \ln(x) \, dx$.

• Un polinomio multiplicado por un seno o coseno: $\int x \cos(x) \, dx$.

• Un logaritmo solo: $\int \ln(x) \, dx$ (se resuelve tomando $dv = dx$).

• Una exponencial multiplicada por un seno o coseno: $\int e^x \sin(x) \, dx$ (el caso “cíclico”, que vemos más abajo).

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La regla ALPES: cómo elegir $u$ y $dv$ sin equivocarte

El error más común al empezar con integración por partes no es de cálculo: es elegir mal qué función es $u$ y cuál es $dv$. Elegido bien, el ejercicio se resuelve en un par de líneas. Elegido mal, la integral se complica en vez de simplificarse.

Para no adivinar, usamos una regla mnemotécnica llamada ALPES. Ordena los tipos de función según qué tan buena candidata es cada una para ser $u$ (se deriva) — el orden de prioridad es:

1. Arcos (funciones trigonométricas inversas, como $\arctan(x)$).

2. Logaritmos ($\ln(x)$).

3. Polinomios ($x$, $x^2$, $3x - 1$).

4. Exponenciales ($e^x$, $2^x$).

5. Senos y cosenos ($\sin(x)$, $\cos(x)$).

La función que aparece primero en esa lista es la que elegís como $u$. Todo lo que queda (junto con el $dx$) es $dv$. La lógica detrás: un logaritmo se vuelve mucho más simple al derivarlo ($\ln(x)$ pasa a ser $\frac{1}{x}$), mientras que una exponencial o un seno no se simplifican al derivarse ni al integrarse, así que conviene dejarlos del lado de $dv$, donde solo hay que integrarlos.

Si estudiaste con material en inglés o de otro país, es la misma idea que la regla “LIATE” (Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales): cambia el orden de las dos primeras letras según el idioma, pero el criterio es idéntico.

El método, en 5 pasos siempre iguales

Antes de los ejercicios, este es el procedimiento completo, siempre en el mismo orden:

1. Identificar que la integral tiene dos funciones multiplicadas y que no se resuelve por sustitución simple.

2. Elegir $u$ y $dv$ con la regla ALPES.

3. Calcular $du$ (derivando $u$) y $v$ (integrando $dv$).

4. Reemplazar en la fórmula: $\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$.

5. Resolver la integral que queda ($\int v \, du$), que tiene que ser más simple que la original. Si no lo es, revisá la elección del paso 2.

Ejercicio resuelto 1: polinomio por exponencial

El caso más frecuente en los primeros parciales. Calculemos:

Resolución paso a paso:

1. Elegir $u$ y $dv$ (regla ALPES): entre un polinomio ($x$) y una exponencial ($e^x$), el polinomio va primero en ALPES.

   • $u = x$

   • $dv = e^x \, dx$

2. Calcular $du$ y $v$:

   • $du = dx$ (derivando $x$)

   • $v = \int e^x \, dx = e^x$ (integrando $e^x$)

3. Reemplazar en la fórmula:

   $$\int x \, e^x \, dx = x \cdot e^x - \int e^x \, dx$$

4. Resolver la integral que queda: es directa.

   $$\int e^x \, dx = e^x$$

5. Resultado final (sin olvidar la constante $C$):

   $$\int x \, e^x \, dx = x e^x - e^x + C$$

💡 Consejo PROFEonline: siempre podés verificar el resultado derivando la respuesta. Derivando $x e^x - e^x + C$ con la regla del producto se obtiene $e^x + x e^x - e^x = x e^x$, que es exactamente la función original. Verificar así te asegura el punto completo del ejercicio en un parcial.

Ejercicio resuelto 2: polinomio de grado 2 por logaritmo

Este ejercicio agrega una dificultad: el polinomio es de grado 2, así que la integral que queda después de aplicar la fórmula no es inmediata, hay que resolverla con un paso más. Calculemos:

Resolución paso a paso:

1. Elegir $u$ y $dv$: entre un logaritmo y un polinomio, el logaritmo va primero en ALPES.

   • $u = \ln(x)$

   • $dv = x^2 \, dx$

2. Calcular $du$ y $v$:

   • $du = \frac{1}{x} \, dx$

   • $v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$

3. Reemplazar en la fórmula:

   $$\int x^2 \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$

4. Simplificar la integral que queda: dentro de la integral, $\frac{x^3}{x} = x^2$.

   $$= \frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx$$

5. Resolver esa integral, ahora sí inmediata:

   $$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$$

6. Resultado final:

   $$\int x^2 \ln(x) \, dx = \frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{x^3}{9} + C$$

Fijate el patrón: cuando $u$ es un logaritmo, la integral que queda siempre se simplifica porque el $\frac{1}{x}$ de $du$ cancela una potencia de $x$ que viene de $v$. Si no cancela ninguna, revisá la elección de $u$ y $dv$.

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Ejercicio resuelto 3: la trampa del logaritmo solo

Este es un clásico de examen porque, a primera vista, no parece un ejercicio de integración por partes: solo hay una función, no dos multiplicadas. Calculemos:

Resolución paso a paso:

1. El truco: toda función se puede escribir como ella misma multiplicada por 1. Así que $\ln(x)$ es, en el fondo, $\ln(x) \cdot 1$, y ese “1” es justo lo que hace falta para tener dos factores y aplicar la fórmula.

   • $u = \ln(x)$

   • $dv = 1 \, dx = dx$

2. Calcular $du$ y $v$:

   • $du = \frac{1}{x} \, dx$

   • $v = \int dx = x$

3. Reemplazar en la fórmula:

   $$\int \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx$$

4. Simplificar y resolver: dentro de la integral, $x \cdot \frac{1}{x} = 1$.

   $$= x \ln(x) - \int 1 \, dx$$

5. Resultado final:

   $$\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C$$

💡 Consejo PROFEonline: cualquier integral con una sola función que no sea inmediata (un logaritmo solo, un arco tangente solo, un arco seno solo) se resuelve con este mismo truco: multiplicar por 1 y tomar $dv = dx$.

Ejercicio resuelto 4: integración por partes con límites (integral definida)

En un parcial, la integración por partes casi siempre viene acompañada de límites de integración, y hay que aplicar la regla de Barrow al final, no en cada paso intermedio. Retomemos el primer ejercicio, ahora entre $0$ y $1$:

Resolución paso a paso:

1. Resolver primero la integral indefinida (la primitiva), exactamente igual que en el ejercicio 1:

2. $$\int x \, e^x \, dx = x e^x - e^x + C$$

3. Aplicar la regla de Barrow con la primitiva, sin la constante $C$ (se cancela sola al restar):

   $$\int_0^1 x \, e^x \, dx = \Big[x e^x - e^x\Big]_0^1$$

4. Evaluar en el límite superior ($x=1$) y en el inferior ($x=0$), y restar:

   $$= (1 \cdot e^1 - e^1) - (0 \cdot e^0 - e^0)$$
   $$= (e - e) - (0 - 1)$$

5. Resultado final:

   $$\int_0^1 x \, e^x \, dx = 0 - (-1) = 1$$

El resultado de una integral definida es siempre un número (acá, exactamente $1$), no una función con $+C$. Ese es la señal de que está bien planteada: si al final del cálculo todavía te queda una $x$ suelta, hay un error más arriba.

Ejercicio resuelto 5: el caso “cíclico” (exponencial por seno o coseno)

Este es el ejercicio que más confunde, porque hay que aplicar integración por partes dos veces y, en la segunda vuelta, la integral original reaparece del otro lado de la igualdad. En vez de resolverse por sustitución, se resuelve con álgebra. Calculemos:

Resolución paso a paso:

1. Primera aplicación de la fórmula: aquí no hay un orden “correcto” según ALPES porque ni la exponencial ni el coseno se simplifican al derivar ni al integrar. Elegimos, por ejemplo:

   • $u = e^x \implies du = e^x \, dx$

   • $dv = \cos(x) \, dx \implies v = \sin(x)$

   $$\int e^x \cos(x) \, dx = e^x \sin(x) - \int e^x \sin(x) \, dx$$

2. Repetir el proceso sobre la nueva integral ($\int e^x \sin(x) \, dx$), manteniendo el mismo criterio (exponencial como $u$, para no volver atrás):

   • $u = e^x \implies du = e^x \, dx$

   • $dv = \sin(x) \, dx \implies v = -\cos(x)$

   $$\int e^x \sin(x) \, dx = -e^x \cos(x) + \int e^x \cos(x) \, dx$$

3. Sustituir este resultado en la ecuación del paso 1:

   $$\int e^x \cos(x) \, dx = e^x \sin(x) - \left( -e^x \cos(x) + \int e^x \cos(x) \, dx \right)$$
   $$\int e^x \cos(x) \, dx = e^x \sin(x) + e^x \cos(x) - \int e^x \cos(x) \, dx$$

4. Acá está el truco: la integral que buscamos aparece en los dos lados de la igualdad. Se la pasa como si fuera una incógnita algebraica, sumándola a ambos lados:

   $$2 \int e^x \cos(x) \, dx = e^x \sin(x) + e^x \cos(x)$$

5. Despejar y agregar la constante:

   $$\int e^x \cos(x) \, dx = \frac{e^x (\sin(x) + \cos(x))}{2} + C$$

Trampa común: en la segunda vuelta, elegir $u$ y $dv$ al revés de como se eligieron en la primera (por ejemplo, poner ahora el seno o coseno como $u$) deshace el trabajo: la integral original vuelve a aparecer tal cual, sin ningún avance, y el ejercicio queda dando vueltas para siempre. La regla es simple: el mismo tipo de función que elegiste como $u$ la primera vez, tiene que seguir siendo $u$ la segunda vez.

Los errores más comunes al resolver integrales por partes

1. Elegir $u$ y $dv$ al azar, sin ALPES: lleva a integrales que se complican en vez de simplificarse. Si después de aplicar la fórmula la integral que queda es más difícil que la original, la elección estuvo mal.

2. Olvidarse la constante $+C$: un resultado correcto sin la constante en una integral indefinida suele perder puntos en la corrección, igual que en cualquier otra técnica de integración.

3. Errores de signo al reemplazar en la fórmula: la fórmula tiene un signo menos antes de la segunda integral ($u \cdot v - \int v \, du$). Es el punto exacto donde más se pierden signos, sobre todo cuando $v$ ya es negativo (como $-\cos(x)$).

4. No simplificar antes de integrar de nuevo: después de reemplazar en la fórmula, casi siempre queda algo para simplificar (cancelar una potencia de $x$, por ejemplo) antes de integrar la segunda vez. Integrar directamente sin simplificar complica innecesariamente la cuenta.

5. En el caso cíclico, no reconocer cuándo detenerse: la señal de que hay que pasar la integral al otro lado como incógnita es que la integral original reaparece igual a sí misma después de la segunda vuelta. Seguir aplicando la fórmula una tercera vez no lleva a ningún lado.

6. Arrastrar la constante $C$ en una integral definida: si el ejercicio tiene límites de integración, la primitiva se evalúa sin $C$ (se cancela sola al restar el límite superior menos el inferior). Escribir $+C$ en un resultado numérico es una contradicción que el corrector nota enseguida.

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Preguntas frecuentes sobre integración por partes

¿Cómo saber si una integral se resuelve por partes o por sustitución?

Si podés identificar una función y “su derivada” multiplicándose dentro de la integral (por ejemplo, $2x$ junto a $\sin(x^2)$), es sustitución. Si en cambio tenés dos funciones de “familias” distintas que no están relacionadas por una derivada directa (un polinomio y una exponencial, un logaritmo y un polinomio), es por partes. Muchos ejercicios de examen se plantean justo para que confundas las dos: probar la sustitución primero, ver que no cierra, y recién ahí pasar a por partes es una estrategia válida y rápida.

¿Se puede usar la regla ALPES al revés?

No, y ese es justamente el error más común. ALPES ordena qué conviene derivar (arriba en la lista) y qué conviene integrar (abajo en la lista). Invertir el orden no hace que el ejercicio esté mal planteado matemáticamente, pero sí lo hace mucho más largo: en vez de simplificarse, la integral que queda después de aplicar la fórmula se vuelve igual de complicada o peor que la original.

¿Qué hago si después de aplicar la fórmula la integral no se simplifica?

Revisá la elección de $u$ y $dv$ con la regla ALPES: es la causa más frecuente. Si la elección ya era la correcta, es probable que se trate de un caso cíclico (como el ejercicio 5 de más arriba), donde la integral no se simplifica en el sentido tradicional, sino que reaparece del otro lado de la igualdad para despejarse algebraicamente.

¿La integración por partes sirve para integrales con más de dos funciones multiplicadas?

Sí, aunque con más pasos. Si tenés, por ejemplo, $x^2 e^x$, elegís de todas formas $u = x^2$ y $dv = e^x \, dx$ siguiendo ALPES, pero al calcular $du = 2x \, dx$ te queda otra integral por partes adentro ($\int 2x \, e^x \, dx$), que resolvés con el mismo método una segunda vez, reduciendo el grado del polinomio en cada vuelta hasta que quede una integral inmediata. Es más largo, pero es exactamente el mismo procedimiento, repetido.

Cómo practicar integrales por partes de manera eficiente

La integración por partes se aprende por repetición, pero no toda repetición sirve igual. Estas son las que mejor funcionan:

• Practicá primero identificar el tipo de integral, sin resolverla. Mirá diez integrales distintas y para cada una decidí solo si es por partes, por sustitución, o directa. Reconocer el tipo de ejercicio es la mitad del trabajo.

• Escribí siempre $u$, $dv$, $du$ y $v$ antes de reemplazar en la fórmula. Saltarse este paso mental y reemplazar directo es la causa más común de errores de signo.

• Repetí los ejercicios cíclicos hasta automatizarlos. Son los que más se traban en un parcial por nervios, y son también los que menos varían de un examen a otro: una vez que entendés el truco algebraico, se resuelven siempre igual.

• Verificá derivando la respuesta, al menos mientras estás aprendiendo. Te confirma si el resultado está bien sin depender de un solucionario.

• Mezclá ejercicios de distintas dificultades en la misma sesión de estudio. Resolver diez ejercicios iguales entre sí da una falsa sensación de dominio; el parcial casi nunca repite el mismo patrón dos veces, así que conviene practicar el salto entre el caso simple, el definido y el cíclico en la misma tanda.

Conclusión: la integración por partes es un método, no una adivinanza

Con la fórmula, la regla ALPES para elegir $u$ y $dv$, y los cinco pasos siempre en el mismo orden, cualquier integral por partes —simple, con polinomios de mayor grado, o cíclica— se resuelve con el mismo procedimiento. La dificultad real no está en el cálculo, sino en elegir bien al principio y en no perderse en los signos por el camino.

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